Русские земли и княжества в XII - первой половине XIII в
← 1132 - 1471 Столица Киев Язык(и) Древнерусский Религия Православное христианство Население восточные славяне...
Несмотря на то что геометрия относится к числу точных наук, ученые не могут однозначно дать определение термину «прямая». В самом общем виде можно дать такое определение: «Прямая — это линия, путь вдоль которой равен расстоянию между двумя точками».
Что такое прямая в математике? Определение прямой в математике: прямая не имеет концов и может продолжаться в обе стороны до бесконечности.
К основным понятиям геометрии относятся точка, прямая и плоскость, они даются без определения, но определения других геометрических фигур даются через эти понятия. Плоскость, как и прямая, - это первичное понятие, не имеющее определения. Это утверждение устанавливается следующей аксиомой: если две точки прямой лежат в некоторой плоскости, то все точки этой прямой лежат в этой плоскости. А само утверждение, которое доказывается, называется теоремой. Формулировка теоремы обычно состоит из двух частей.
Задача: где прямая, луч, отрезок, кривая? Вершины ломаной(похожи на вершины гор) - это точка, с которой начинается ломанная, точки, в которых соединяются отрезки, образующие ломаную, точка, которой заканчивается ломанная. Задача: какая ломанная длиннее, а у какой больше вершин? Смежные стороны многоугольника - это смежные звенья ломанной. Вершины многоугольника - это вершины ломанной. Соседние вершины - это точки концов одной стороны многоугольника.
На уроках математики можно услышать следующее объяснение: математический отрезок имеет длину и концы. Отрезок в математике — это совокупность всех точек, лежащих на прямой между концами отрезка.
В дальнейшем будут определения для разных фигур кроме двух — точка и прямая. Значит иногда обозначить прямую можем и двумя большими латинскими буквами, например, прямая\(AB\), так как никакая другая прямая через эти две точки не может быть проведена. Символически записываем отрезок \(AB\).
Что такое точка в математике?
Теорема:Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны. С. Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику. С. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, — прямой. Здесь собраны основные определения, теоремы, свойства фигур на плоскости.
Вектор с координатами точки называется нормальным вектором, он перпендикулярен прямой.
При систематическом изложении геометрии прямая линия обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенно определяется аксиомами геометрии.
4.Две несовпадающие прямые на плоскости или пересекаются в единственной точке, или они параллельны. Лучом называют часть прямой линии, ограниченную с одной стороны. Отрезок, как и прямая линия, обозначается или одной буквой, или двумя. В последнем случае эти буквы указывают концы отрезка.
Точка и прямая являются основными геометрическими фигурами на плоскости.
Древнегреческий учёный Евклид говорил: «точка» – это то, что не имеет частей». Слово «точка» в переводе с латинского языка означает результат мгновенного касания, укол. Точка является основой для построения любой геометрической фигуры.
Прямая линия или просто прямая – это линия, вдоль которой расстояние между двумя точками является кратчайшим. Прямая линия бесконечна, и изобразить всю прямую и измерить её невозможно.
Точки обозначают заглавными латинскими буквами А, В, С, D, Е и др., а прямые теми же буквами, но строчными а, b, c, d, e и др. Прямую можно обозначить и двумя буквами, соответствующими точкам, лежащим на ней. Например, прямую a можно обозначить АВ.
Можно сказать, что точки АВ лежат на прямой а или принадлежат прямой а. А можно сказать, что прямая а проходит через точки А и В.
Простейшие геометрические фигуры на плоскости – это отрезок, луч, ломаная линия.
Отрезок – это часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, ограниченных двумя выбранными точками. Эти точки – концы отрезка. Отрезок обозначается указанием его концов.
Луч или полупрямая – это часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих по одну сторону от данной её точки. Эта точка называется начальной точкой полупрямой или началом луча. Луч имеет точку начала, но не имеет конца.
Полупрямые или лучи обозначаются двумя строчными латинскими буквами: начальной и любой другой буквой, соответствующей точке, принадлежащей полупрямой. При этом начальная точка ставится на первом месте.
Получается, что прямая бесконечна: у неё нет ни начала, ни конца; у луча есть только начало, но нет конца, а отрезок имеет начало и конец. Поэтому только отрезок мы можем измерить.
Несколько отрезков, которые последовательно соединены между собой так, что имеющие одну общуюточкуотрезки (соседние) располагаются не на одной прямой, представляют собой ломаную линию.
Ломаная линия может быть замкнутой и незамкнутой. Если конец последнего отрезка совпадает с началом первого, перед нами замкнутая ломаная линия, если же нет – незамкнутая.
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Наряду с такими понятиями как точка, отрезок, прямая, в геометрии существует и еще одно понятие. Оно имеет название луч. Луч - это часть прямой, ограниченная с одной стороны точкой, а с другой стороны - бесконечная, т.е. ни чем не ограниченная.
Можно провести аналогию с природой. Например, луч света, который мы можем направить с земли в космос. С одной стороны он ограничен, а с другой стороны - нет. Каждый луч имеет одну крайнюю точку, в которой он начинается. Она называется началом луча .
Если взять произвольную прямую a , и отметим на ней некоторую точку О , то эта точка разобьет нашу прямую на две части. Каждая из которых будем лучом. Точка О будет принадлежать каждому из этих лучей. Точка О будет в данном случае началом этих двух лучей.
Луч обычно обозначают одной латинской буквой. На рисунке ниже представлен луч k .
Также можно обозначать луч двумя большими латинским буквами. При этом первая из них - это точка, в которой лежит начало луча. Вторая - это точка которая принадлежит лучу или другими словами - через которую луч проходит.
На рисунке представлен луч ОС.
Еще одним способом обозначения луча, является указание начальной точки луча и прямой, которой этот луч принадлежит. Например, на рисунке ниже представлен луч Оk.
Иногда говорят, что луч исходит из точки О. Это значит, что точка О является началом луча. Лучи еще иногда называют полупрямыми .
Проведите прямую, и отметьте на ней точки A B и на отрезке AB отметьте точку C. Среди лучей АB, BC, CA, AC и BA найдите пары совпадающих лучей.
Лучи совпадают, если они лежат на одной прямой и имеют общее начало и ни один из них не является продолжением другого луча.
По рисунку видно, что этим условиям удовлетворяют лучи AB и AC, а также лучи BC и BA. Следовательно, они являются совпадающими.
Точка О разбивает прямую AB на две части. Что напоминает каждая из частей? Чем каждая часть отличается от прямой и отрезка?
Отметь цветным карандашом начало каждого луча. Как обозначен первый луч? Можно ли поменять местами буквы? Почему? Обозначь остальные лучи.
Решение
Обведи с помощью линейки на чертеже прямые линии красным карандашом, лучи - синим, а отрезки - зелёным:
Даже когда виден небольшой участок прямой, предполагается, что она бесконечно продолжается в обе стороны
Обозначается строчной (маленькой) латинской буквой. Или двумя заглавными (большими) латинскими буквами - точками, лежащими на прямой
Прямые могут быть
У луча света на картинке начальной точкой является солнце
Точка разделяет прямую на две части - два луча A A
Луч обозначается строчной (маленькой) латинской буквой. Или двумя заглавными (большими) латинскими буквами, где первая - это точка, с которой начинается луч, а вторая - точка, лежащая на луче
Лучи совпадают, если
Через одну точку можно провести любое число линий, в том числе прямых
Через две точки - неограниченное количество кривых, но только одну прямую
От прямой «отрезали» кусочек и остался отрезок. Из примера выше видно, что его длина - наикратчайшее расстояние между двумя точками.
Отрезок обозначается двумя заглавными(большими) латинскими буквами, где первая - это точка, с которой начинается отрезок, а вторая - точка, которой заканчивается отрезок
Длинный отрезок «поломали» на несколько коротких
Звенья ломаной (похожи на звенья цепи) - это отрезки, из которых состоит ломанная. Смежные звенья - это звенья, у которых конец одного звена является началом другого. Смежные звенья не должны лежать на одной прямой.
Вершины ломаной (похожи на вершины гор) - это точка, с которой начинается ломанная, точки, в которых соединяются отрезки, образующие ломаную, точка, которой заканчивается ломанная.
Обозначается ломанная перечислением всех её вершин.
Длина ломанной - это сумма длин её звеньев: ABCDE = AB + BC + CD + DE = 64 + 62 + 127 + 52 = 305
Стороны многоугольника (помогут запомнить выражения: «пойти на все четыре стороны», «бежать в сторону дома», «с какой стороны стола сядешь?») - это звенья ломанной. Смежные стороны многоугольника - это смежные звенья ломанной.
Вершины многоугольника - это вершины ломанной. Соседние вершины - это точки концов одной стороны многоугольника.
Обозначается многоугольник перечислением всех его вершин.
A B C D E F 120 60 58 122 98 141
Периметр многоугольника - это длина ломанной: P = AB + BC + CD + DE + EF + FA = 120 + 60 + 58 + 122 + 98 + 141 = 599
Многоугольник с тремя вершинами называется треугольником, с четырьмя - четырёхугольником, с пятью - пятиугольником и т.д.
shpargalkablog.ru
Геометрия - это раздел математики, изучающий геометрические фигуры и их свойства.
Познакомимся с основными геометрическими понятиями, изучаемыми в начальной школе .
Точка - это основная и самая простая геометрическая фигура.
В геометрии точка обозначается заглавной латинской буквой или цифрой. Многие латинские буквы по написанию похожи на английские буквы.
В тексте точку обозначают следующим символом: « (·) A » - точка « А ».
Прямая - это самая простая геометрическая фигура, которая не имеет ни начала, ни конца.
Слова «не имеет ни начала, ни конца» говорят о том, что прямая бесконечна.
Двумя заглавными латинскими буквами в том случае, если этими буквами обозначены точки, расположенные на прямой.
Луч - это часть прямой линии, которая расположена по одну сторону от какой-либо точки. У луча есть начало, но нет конца.
Двумя заглавными латинскими буквами в том случае, когда первая точка - начало луча, а вторая точка лежит на луче.
Отрезок - это часть прямой линии, которая ограничена двумя точками (концами отрезка). У отрезка есть и начало, и конец.
Основное свойство отрезка - это его длина.
Длина отрезка - это расстояние между его концами.
В математике отрезок обозначается заглавными латинскими буквами.
Ломаная - это геометрическая фигура, состоящая из точек, которые соединены отрезками.
Вершины ломаной - это точки, в которых соединяются отрезки, образующие ломаную.
Звенья ломаной - это отрезки ломаной.
В математике ломаная обозначается заглавными латинскими буквами.
Ломаная « ABCD ».
Вершины ломаной - A, B, C, D .
Звенья ломаной - AB, BC, CD.
Чтобы найти длину ломаной, необходимо сложить длины всех её звеньев (отрезков), из которых она состоит.
KLCM = KL + LC + CM = 3 см + 2 см + 2 см = 7 см
Вот мы и познакомились с основами геометрии . Теперь мы готовы рассмотреть не менее важную геометрическую фигуру - угол. Для этого перейдите на следующую страницу, нажав на кнопку «Посмотреть содержание темы» вверху страницы.
Мы рассмотрим каждую из тем, а в конце будут даны тесты по темам.
Что такое точка в математике? Математическая точка не имеет размеров и обозначается заглавными латинскими буквами: A, B, C, D, F и т.д.
На рисунке можно видеть изображение точек A, B, C, D, F, E, M, T, S.
Что такое отрезок в математике? На уроках математики можно услышать следующее объяснение: математический отрезок имеет длину и концы. Отрезок в математике — это совокупность всех точек, лежащих на прямой между концами отрезка. Концы отрезка — две граничные точки.
На рисунке мы видим следующее: отрезки ,,,, и , а также две точки B и S.
Что такое прямая в математике? Определение прямой в математике: прямая не имеет концов и может продолжаться в обе стороны до бесконечности. Прямая в математике обозначается двумя любыми точками прямой. Для объяснения понятия прямой ученику можно сказать, что прямая — это отрезок, который не имеет двух концов.
На рисунке изображены две прямые: CD и EF.
Что же такое луч? Определение луча в математике: луч — часть прямой, которая имеет начало и не имеет конца. В названии луча присутствуют две буквы, например, DC. Причем первая буква всегда обозначает точку начала луча, поэтому менять местами буквы нельзя.
На рисунке изображены лучи: DC, KC, EF, MT, MS. Лучи KC и KD — один луч, т.к. у них общее начало.
Определение числовой прямой в математике: прямая, точки которой отмечают числа, называют числовой прямой.
На рисунке изображена числовая прямая, а также луч OD и ED
К основным геометрическим фигурам на плоскости относятся точка и прямая линия . Отрезок , луч , ломаная линия - простейшие геометрические фигуры на плоскости.
Точка - это самая малая геометрическая фигура , которая является основой всех прочих построений (фигур) в любом изображении или чертеже.
Всякая более сложная геометрическая фигура - это множество точек , которые обладают определенным свойством, характерным только для этой фигуры.
Прямую линию, или прямую, можно представить себе как бесчисленное множество точек , которые расположены на одной линии, не имеющей ни начала, ни конца. На листе бумаги мы видим только часть прямой линии, так как она бесконечна. Прямая изображается так:
Часть прямой линии , ограниченная с двух сторон точками , называется отрезком прямой, или отрезком. Отрезок изображается так:
Луч - это направленная полупрямая, которая имеет точку начала и не имеет конца. Луч изображается так:
Если на прямой вы поставили точку , то этой точкой прямая разбивается па два луча , противоположно направленных. Такие лучи называются дополнительными.
Ломаная линия - это несколько отрезков , соединенных между собой так, что конец первого отрезка является началом второго отрезка, а конец второго отрезка - началом третьего отрезка и т. д., при этом соседние (имеющие одну общую точку ) отрезки расположены не на одной прямой. Если конец последнего отрезка не совпадает с началом первого, то такая ломаная линия называется незамкнутой.
Выше изображена трехзвенная ломаная линия .
Если конец последнего отрезка ломаной совпадает с началом первого отрезка, то такая ломаная линия называется замкнутой. Примером замкнутой ломаной служит любой многоугольник:
Плоскость, как и прямая, - это первичное понятие, не имеющее определения. У плоскости, как и у прямой, нельзя видеть ни начала, ни конца. Мы рассматриваем только часть плоскости, которая ограничена замкнутой ломаной линией.
Примером плоскости
является поверхность вашего рабочего стола, тетрадный лист, любая гладкая поверхность. Плоскость можно изобразить как заштрихованную
геометрическую фигуру:
Все мы когда-то изучали в школе геометрию, но далеко не каждый из нас вспомнит, что представляет собой отрезок. А уж тем более мало кто сможет объяснить понятие лучей, и как они обозначаются. Давайте постараемся в этой статье напомнить себе данные определения и рассмотрим их в математике. Также определим, что такое луч, и чем он отличается от светового. Если вникнуть, то понять будет несложно.
Для начала давайте вспомним, что называется геометрией. Геометрия - это раздел математики, изучающий геометрические фигуры и их свойства. К ним относятся треугольник, квадрат, прямоугольник, параллелепипед, круг, овал, ромб, цилиндр и т. п. Простейшая фигура - это прямая. Она является бесконечной и не имеет начала. Две прямые пересекутся только в одной единственной точке. Через одну точку можно проводить бессчетное количество прямых линий. Каждая точка на линии делит ее на два .
Он состоит из точек, расположенных по одну сторону. Все понятия данных подмножеств можно именовать таким образом. Луч обозначают одной строчной латинской буквой или двумя заглавными, когда одна точка - начало (например, О), а вторая лежит на нем (например, F, К и Е) .
В основе геометрической фигуры, имеющей углы, лежат полупрямые. Они начинаются в точке, где пересекаются, но второй стороной направлены в бесконечность. Начало делит прямую на 2 части. На письме его обычно именуют двумя заглавными (OF) или одной буквой латиницы (а, в, с). Если дана прямая, то записывается ОВ в закругленных скобках: (ОВ). Если же это отрезок - в квадратных скобках.
Таким образом, луч - это часть прямой. Через любую точку можно провести множество прямых, но через 2 несовпадающие - только одну. Последние могут быть взаимодействовать только в трех вариантах: пересекаться, скрещиваться, быть параллельными друг другу. Существуют линейные уравнения, которые задают прямую на плоскости.
Вариантов для обозначения несколько:
Нужно знать: Что такое и горизонтальное положение?
В геометрии таковые понятия очень схожи. Луч - это линия, но она является энергией света . Другими словами - это небольшой пучок света. В оптике данное понятие, как и понятие прямой, в геометрии - базовое. У световых нет сконцентрированного направления, происходит дифракция. Но когда поток света очень сильный, расходимостью пренебрегают, и можно выделять четкое направление.