Резистивный элемент. Комплексное сопротивление

Электротехническая величина, которая характеризует свойство материала препятствовать протеканию электрического тока. В зависимости от вида материала, сопротивление может стремиться к нулю - быть минимальным (мили/микро омы - проводники, металлы), или быть очень большим (гига омы - изоляция, диэлектрики). Величина обратная электрическому сопротивлению - это проводимость .

Единица измерения электрического сопротивления - Ом. Обозначается буквой R. Зависимость сопротивления от тока и в замкнутой цепи определяется законом Ома .

Омметр - прибор для прямого измерения сопротивления цепи. В зависимости от диапазона измеряемой величины, подразделяются на гигаомметры (для больших сопротивление - при измерении изоляции), и на микро/милиомметры (для маленьких сопротивлений - при измерении переходных сопротивлений контактов, обмоток двигателей и др.). Существует большое разнообразие омметров по конструктиву разных производителей, от электромеханических до микроэлектронных. Стоит отметить, что классический омметр измеряет активную часть сопротивления (так называемые омики).

Любое сопротивление (металл или полупроводник) в цепи переменного тока имеет активную и реактивную составляющую. Сумма активного и реактивного сопротивления составляют полное сопротивление цепи переменного тока и вычисляется по формуле:

где, Z - полное сопротивление цепи переменного тока;

R - активное сопротивление цепи переменного тока;

Xc - емкостное реактивное сопротивление цепи переменного тока; (С- емкость, w - угловая скорость переменного тока)

Xl - индуктивное реактивное сопротивление цепи переменного тока;

(L- индуктивность, w - угловая скорость переменного тока).

Активное сопротивление - это часть полного сопротивления электрической цепи, энергия которого полностью преобразуется в другие виды энергии (механическую, химическую, тепловую). Отличительным свойством активной составляющей - полное потребление всей электроэнергии (в сеть обратно в сеть энергия не возвращается), а реактивное сопротивление возвращает часть энергии обратно в сеть (отрицательное свойство реактивной составляющей).

Физический смысл а ктивного сопротивления

Каждая среда, где проходят электрические заряды, создаёт на их пути препятствия (считается, что это узлы кристаллической решётки), в которые они как-бы ударяются и теряют свою энергию, которая выделяется в виде тепла. Таким образом, происходит падение (потеря электрической энергии), часть которого теряется из-за внутреннего сопротивления проводящей среды. Численную величину, характеризующую способность материала препятствовать прохождению зарядов и называют сопротивлением. Измеряется оно в Омах (Ом) и является обратно пропорциональной электропроводности величиной.

Разные элементы периодической системы Менделеева имеют различные удельные электрические сопротивления (р), например, наименьшим уд. сопротивлением обладают серебро (0,016 Ом*мм2/м), медь (0,0175 Ом*мм2/м), золото (0,023) и алюминий (0,029). Именно они применяются в промышленности в качестве основных материалов, на которых строится вся электротехника и энергетика. Диэлектрики, напротив, обладают высоким уд. сопротивлением и используются для изоляции.

Сопротивление проводящей среды может значительно изменяться в зависимости от сечения, температуры, величины и частоты тока. К тому же, разные среды обладают различными носителями зарядов (свободные электроны в металлах, ионы в электролитах, "дырки" в полупроводниках), которые являются определяющими факторами сопротивления.

Физический смысл р еактивного сопротивления

В катушках и конденсаторах при подаче происходит накопление энергии в виде магнитных и электрических полей, что требует некоторого времени. Магнитные поля в сетях переменного тока изменяются вслед за меняющимся направлением движения зарядов, при этом оказывая дополнительное сопротивление. Кроме того, возникает устойчивый сдвиг фаз и силы тока, а это приводит к дополнительным потерям электроэнергии.

Удельное сопротивление

Как узнать сопротивление материала, если по нему не течет и у нас нет омметра? Для это существует специальная величина - удельное электрическое сопротивление материало в (это табличные значения, которые определены опытным путем для большинства металлов). С помощью этого значения и физических величин материала, мы можем вычислить сопротивление по формуле:

где, p - удельное сопротивление (единицы измерения ом*м/мм 2);

l - длина проводника (м);

S - поперечное сечение (мм 2).

Введение комплексного представления токов и напряжений требует определить и сопротивление элементов электрических цепей в комплексной форме - Z.

Хороши известно, что сопротивление резистора определяется как отношение напряжения на резисторе к току, протекающему через него. Если напряжение и ток представлены в комплексной форме, то

Но на предыдущей лекции было установлено, что . Поэтому

Таким образом видим, что комплексное сопротивление резистора выражается только действительным числом. Оно не вносит фазовых искажений между токами и напряжением. Чтобы подчеркнуть этот факт такое сопротивление часто называют активным.

Комплексное сопротивление емкости определяется отношением

. (3.2)

Видим, что комплексное сопротивление емкости переменному току выражается мнимым числом. Мнимая единица -j физически определяет сдвиг фаз между током и напряжением на 90 о. Это хорошо согласуется с ее максимальным значением

Поэтому на емкости напряжение отстает от тока на 90 о. Это означает, что сначала растет ток, протекающий через конденсатор, затем, с некоторым отставанием увеличивается заряд и напряжение.

Коэффициент 1/ определяет величину сопротивления в Омах. Он обратно пропорционален частоте, называется емкостным сопротивлением и обозначается Х С, т.е.

. (3.3)

Комплексное сопротивление индуктивности определяется отношением

. (3.4)

И в этом случае сопротивление выражается мнимым числом. Но так как это число положительное, то это означает, что на индуктивности напряжение опережает ток на 90 о.

Коэффициент wL определяет величину сопротивления в Омах. Он пропорционален частоте, называется индуктивным сопротивлением и обозначается Х L , т.е.

Чтобы подчеркнуть тот факт, что сопротивления емкости и индуктивности выражаются мнимыми числами, их называют реактивными сопротивлениями, а конденсатор и индуктивность - реактивными элементами цепи.

Определим теперь комплексное сопротивление электрической цепи, содержащей активные и реактивне элементы, например последовательно включенные R, L и С элементы (рис.3.1). Такая цепь представляет замкнутый контур, поэтому для нее справедлив второй закон Кирхгофа

В последнем выражении проведем замену символов мгновенных напряжений и ЭДС на их комплексные изображения по правилам, определенным в лекции 1.2. Такой прием получил название символического метода. Так как ток протекающий через все элементы последовательной цепи одинаков, то (3.6) приходит к виду

Преобразуем это выражение к виду

.

По определению выражение в правой части последнего равенства есть ни что иное, как комплексное сопротивление цепи рис.3.1, т.е.

(3.7)

где R - действительная часть или активное сопротивление цепи.

- мнимая часть или реактивное сопротивление цепи.

Выражение (3.7) представляет комплексное сопротивление в алгебраической форме. Соотношения между составляющими комплексного сопротивления находятся в полном соответствии с соотношениями для комплексного представления тока. Но для большей наглядности вводится понятие треугольника сопротивления (рис.3.2).

В треугольнике - гипотенуза определяется модулем комплексного сопротивления Z, причем

(3.8)

Противолежащий катет - реактивным сопротивлением X, причем

Угол определяет сдвиг фаз между током и напряжением, который вносится комплексным сопротивлением цепи, причем

Учитывая выражения (3.8) ¸ (3.11) легко перейти от алгебраической к тригонометрической форме комплексного сопротивления

a применив формулу Эйлера получить показательную форму

Теперь можно записать закон Ома для участка цепи без источника ЭДС в комплексном изображении

(3.14)

Выражение (3.14) показывает, что в цепях переменного тока модуль тока определяется отношением модуля напряжения (его амплитудного значения) к модулю комплексного сопротивления, а фаза тока определяется разностью фаз напряжения и комплексного сопротивления. Отсюда вытекает еще одно полезное для практики выражение

. (3.15)

Параметр резистивного элемента r в соответствии с законом Ома определяет связь мгновенных значений тока и напряжения u = ri. Сопротивление резистивного элемента r в цепях переменного тока принято называть активным сопротивлением. Сопротивление резистивного элемента является функцией частоты тока, протекающего через него, и может возрастать при увеличении частоты из-за проявления эффекта вытеснения тока. Резистивный элемент. Пусть напряжение на резистивном элементе с сопротивлением R (рис. 4.1а,б) синусоидально, т.е. u(t)= Um Sin (ω t+ψ u) Поскольку мгновенные значения напряжения и тока для резистивного элемента связаны законом Ома, то i(t)= u(t)/ R= (Um/ R) Sin (ω t+ψ u)или i (t)= Im Sin(ω t+ψ i), где Im= Um/ R .Мгновенная мощность в резистивном элементе определяется формулой p(t)=u(t) i (t)=UI- UICos2ω t=p=+p~ Мощность изменяется от нулевого значения до максимального, принимая только положительные значения. Это означает, что при любом направлении тока энергия поступает от источника в резистивный элемент и рассеивается в нем в виде тепла. Средняя за период переменного тока (или активная) мощность равна Р= p== UI=I2R=U2g, Вт. Поскольку φ = 0, то реактивная мощность равна 0, т.е. Q = UISin φ =0.

Полная мощность равна активной мощности, т.е. S=UI.

сопротивления резистивного элемента в виде Следовательно: а) комплексное сопротивление резистивного элемента содержит только активную составляющую (реактивная составляющая равна нулю), т.е. б) полное сопротивление резистивного элемента z=R; в) аргумент комплексного сопротивления равен 0 (φ =0) и потому векторы напряжения на резистивном элементе и тока в нем совпадают по направлению (рис. 4.1,в) . Комплексная проводимость резистивного элемента есть величина обратная комплексному сопротивлению, т.е. YR=1/ ZR= (1/R)ej0=1/R, См. Индуктивный элемент Пусть ток в индуктивном элементе с индуктивностью L (рис. 4.2а,б) синусоидален, т.е i(t)= Im Sin (ω t+ ψi). Поскольку мгновенные значения напряжения на индуктивном элементе пропорционально скорости изменения тока, то u(t)=L d.i /dt= Im ω L Cos (ω t+ ψi)= Im ω L Sin ω t+ ψi +π /2) или u(t)=UmSin (ω t+ ψu), где Um=Im ω L –амплитуда напряжения и ψu = ψi + π /2- начальная фаза напряжения.

xL= ω L,Ом, называемую индуктивным сопротивлением.

Величина bL, обратная индуктивному сопротивлению, называется индуктивной проводимостью bL =1/ xL=1/ ω L,Сим. Как видно, при неизменной амплитуде напряжения на индуктивном элементе с ростом частоты пропорционально падает амплитуда тока. Фазовый сдвиг между напряжением и током при всех частотах остается неизменным и равным π /2. Мгновенная мощность в индуктивном элементе определяется формулой p(t)=u(t) i (t)=UISin2(ω t)= p~ Мощность содержит только переменную синусоидальную составляющую, меняющуюся с удвоенной частотой. На интервалах периода, когда знаки напряжения и тока совпадают, энергия поступает в индуктивность от источника, запасаясь в магнитном поле катушки. На интервалах периода, когда знаки напряжения и тока различны, энергия запасенная в индуктивном элементе возвращается обратно источнику. Средняя за период переменного тока (или активная) мощность для индуктивного элемента равна нулю, т.е. Р= UICos(π /2)=0.

Поскольку φ = π /2, то реактивная мощность положительна и равна Q = UISinφ =UI. Полная мощность равна по величине реактивной мощности, т.е. S=UI. Находя отношение комплексной амплитуды напряжения к комплексной амплитуде тока, получим выражение для комплексного сопротивления индуктивного элемента в виде

Поскольку мгновенное значения тока в емкостном элементе пропорционально скорости изменения напряжения, то i (t)=С du /dt= Umω C Cos (ω t+ ψu)= Umω C Sin (ω t+ ψu+π /2) или i(t)= Im Sin (ω t+ ψi), где Im= UmωС –амплитуда тока и ψi = ψu +π /2- начальная фаза тока. Величина bс, обратная емкостному сопротивлению называется емкостной проводимостью. bс =1/ xc=ω C,Сим Как видно, при неизменной амплитуде напряжения на емкостном элементе с ростом частоты пропорционально растет амплитуда тока. Фазовый сдвиг между напряжением и током при всех частотах остается неизменным и равным - π /2. Мгновенная мощность в емкостном элементе определяется формулами p(t)=u(t) i (t)=UISin2(ω t+ψu)=p~

Средняя за период переменного тока (или активная) мощность для емкостного элемента равна нулю, т.е. Р= UICos(-π /2)=0. Поскольку φ = - π /2, то реактивная мощность отрицательна и равна Q = UISinφ = -UI.

Полная мощность по величине равна реактивной мощности, т.е. S=UI. Находя отношение комплексной амплитуды напряжения к комплексной амплитуде тока, получим выражение для комплексного сопротивления емкостного элемента в вверх

6. Закон Ома для участка цепи сила тока в проводнике пропорциональна напряжению на его концах и обратно пропорциональна сопротивлению проводника:

Любую электрическую цепь можно охарактеризовать силой тока, напряжением и сопротивлением.

Закон Ома для полной цепи - сила тока в цепи пропорциональна действующей в цепи ЭДС и обратно пропорциональна сумме сопротивлений цепи и внутреннего сопротивления источника.

Полный закон Ома для полной цепи звучит так: сила тока в электрической цепи будет прямо пропорциональна напряжению приложенному к этой цепи, и обратно пропорциональна сумме внутреннего сопротивления источника электропитания и общему сопротивлению всей цепи.

7. Параллельным называют такое соединение, при котором все включенные в цепь потребители электрической энергии, находятся под одним и тем же напряжением В этом случае они присоединены к двум узлам цепи а и b, и на основании первого закона Кирхгофа (1.3) можно записать, что общий ток I всей цепи равен алгебраической сумме токов отдельных ветвей: В том случае, когда параллельно включены два сопротивления R1 и R2, они заменяются одним эквивалентным сопротивлением По параллельно включенной схеме работают в номинальном режиме потребители любой мощности, рассчитанные на одно и то же напряжение. Причем включение или отключение одного или нескольких потребителей не отражается на работе остальных. Поэтому эта схема является основной схемой подключения потребителей к источнику электрической энергии. Смешанным называется такое соединение , при котором в цепи имеются группы параллельно и последовательно включенных сопротивлений. Для цепи, представленной на рис. 1.7, расчет эквивалентного сопротивления начинается с конца схемы. Для упрощения расчетов примем, что все сопротивления в этой схеме являются одинаковыми: R1=R2=R3=R4=R5=R. Сопротивления R4 и R5 включены параллельно, тогда сопротивление участка цепи cd равно:

Соединение элементов электрической цепи по схемам «звезда» и «треугольник» В электротехнических и электронных устройствах элементы цепи соединяются по мостовой схеме (рис. 1.12). Сопротивления R12, R13, R24, R34 включены в плечи моста, в диагональ 1–4 включен источник питания с ЭДС Е, другая диагональ 3–4 называется измерительной диагональю моста.

В мостовой схеме сопротивления R13, R12, R23 и R24, R34, R23 соединены по схеме «треугольник». Эквивалентное сопротивление этой схемы можно определить только после замены одного из треугольников, например треугольника R24 R34 R23 звездой R2 R3 R4 (рис. 1.13). Такая замена будет эквивалентной, если она не вызовет изменения токов всех остальных элементов цепи. Для этого величины сопротивлений звезды должны рассчитываться по следующим соотношениям: Для замены схемы «звезда» эквивалентным треугольником необходимо рассчитать сопротивления треугольника: После проведенных преобразований можно определить величину эквивалентного сопротивления мостовой схемы Электрическая цепь с последовательным соединением элементов Последовательным называют такое соединение элементов цепи, при котором во всех включенных в цепь элементах возникает один и тот же ток I (рис. 1.4). На основании второго закона Кирхгофа (1.5) общее напряжение U всей цепи равно сумме напряжений на отдельных участках: U = U1 + U2 + U3 или IRэкв = IR1 + IR2 + IR3, Rэкв = R1 + R2 + R3. Таким образом, при последовательном соединении элементов цепи общее эквивалентное сопротивление цепи равно арифметической сумме сопротивлений отдельных участков. Следовательно, цепь с любым числом последовательно включенных сопротивлений можно заменить простой цепью с одним эквивалентным сопротивлением Rэкв (рис. 1.5). После этого расчет цепи сводится к определению тока I всей цепи по закону Ома и по вышеприведенным формулам рассчитывают падение напряжений U1, U2, U3 на соответствующих участках электрической цепи.